PA/C/Cw1

From WikiZMSI

Spis treści 1 Modelowanie matematyczne układów dynamicznych ciągłych 1.1 Cel ćwiczenia 1.2 Wymagana wiedza 1.2.1 Rachunek operatorowy Laplace'a 1.2.2 Liczby zespolone 1.2.3 Podstawowe człony dynamiczne 1.3 Przebieg ćwiczenia 1.4 Pytania kontrolne 1.5 Bibliografia

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych ciągłych

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z metodami modelowania matematycznego i badania dynamiki nieskomplikowanych obiektów regulacji. Zaprezentowana procedura wyprowadzania dotyczy układów jednowymiarowych,liniowych stacjonarnych. Zakłada się ponadto zerowe warunki brzegowe. Tak postawione założenia prowadzą do modeli dynamiki w postaci równań różniczkowych zwyczajnych. Poszukiwanie rozwiązania zostanie oparte na zastosowaniu rachunku operatorowego Laplace'a, przy czym zadanie zostanie uproszczone poprzez zastosowanie tablic typowych transformat i oryginałów. Transformacja modelu w postaci równania różniczkowego zwyczajnego w równanie algebraiczne (wielomian uzmienniony w dziedzinie zmiennej zespolonej s) w znacznym stopniu ułatwia prowadzenie analizy czasowej i częstotliwościowej modelu.

Wymagana wiedza

Poniższe informacje można odnaleźć w ([]).

Rachunek operatorowy Laplace'a

Pojęcie transmitancji operatorowej w dziedzinie zmiennej zespolonej s, zamiana równań różniczkowych na opis operatorowy przy użyciu transmitancji, podstawowe własności przekształcenia Laplace'a (twierdzenia : o liniowości, o różniczkowaniu, o całkowaniu, o wartości początkowej, o wartości końcowej).

Liczby zespolone

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej - tożsamość Eulera, podstawowe działania na liczbach zespolonych.

Podstawowe człony dynamiczne

Znajomość transmitancji operatorowej (znaczenie parametrów np. zinterpretować wzmocnienie k), r-nia różniczkowego, charakterystyki skokowej,charakterystyk częstotliwościowych (amplitudowo-fazowej, amplitudowej i fazowej), przykładów rzeczywistych obiektów z wyróżnionym wejściem i wyjściem fizycznym następujących członów dynamicznych :

• element bezinercyjny (proporcjonalny),
• element inercyjny I-go rzędu,
• element całkujący idealny,
• element całkujący rzeczywisty,
• element różniczkujący idealny
• element różniczkujący rzeczywisty,
• element opóźniający,
• element typu oscylator II-go rzędu,
• element inercyjny II-go rzędu

Przebieg ćwiczenia

Na podstawie modeli fizycznych, stanowiących uproszczenia obiektów rzeczywistych wyprowadzane będą modele matematyczne w postaci równań lub układu równań różniczkowych zwyczajnych. Uzyskane w ten sposób modele będą transformowane do przestrzeni zmiennej zespolonej s i na tej podstawie będą wyznaczane transformaty odpowiedzi modelowanego układu na założone sygnały pobudzające. Zastosowanie tablic transformat i oryginałów pozwoli na uzyskanie rozwiązania w dziedzinie czasu.

Pytania kontrolne

1. Omówić procedurę wyprowadzania modelu matematycznego;
2. Co oznacza spełnienie i niespełnienie warunku liniowości modelu obiektu dynamicznego;
3. Podać twierdzenie o liniowości i opisać słownie;
4. Podać twierdzenie o różniczkowaniu dowolnego rzędu;
5. Podać twierdzenie o całkowaniu;
6. Podać twierdzenie o wartości końcowej;
7. Podać twierdzenie o wartości początkowe;
8. Zinterpretuj pojęcie stacjonarności;
9. Jaką zasadę powinny spełniać układy liniowe ?
10. Jak wygląda zapis algebraiczny transmitancji operatorowej;
11. Podane równanie różniczkowo-całkowe przekształcić do postaci operatorowej;
12. wymienić cechy systemu statycznego;
13. Wymienić cechy systemu dynamicznego;
14. Na czym polega analiza "white box" ?
15. Na czym polega analiza "black box" ?
16. Podaj transmitancję operatorową, opis w dziedzinie czasu, charakterystykę skokową, amplitudowo-fazową oraz jeden przykład rzeczywistego obiektu jeden spośród podstawowych członów dynamicznych.
17. Co to są zera i bieguny transmitancji?
18. Wymień i omów podstawowe sygnały wykorzystywane do identyfikacji dynamiki - funkcja, przebieg w czasie, praktyczny sposób realizacji.
19. Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne w postaci standardowej. Przekształć w transmitancję operatorową, określ rząd, wyznacz zera i bieguny i nanieś, stosując prawidłowe oznaczenie na odpowiednią płaszczyznę.

Bibliografia

1. K.Amborski : Teoria sterowania - podręcznik programowany. Wydawnictwo Naukowo techniczne PWN, Warszawa, 1987.
2. M.Żelazny : Podstawy automatyki. xxx, xxx, 000.
3. T.Kaczorek : Teoria sterowania. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1976.
4. F.Leja : Funkcje zespolone. PWN, Warszawa, 1967.
5. J.Osiowski : Zarys rachunku operatorowego. WNT, Warszawa, 1972.
6. W.Pełczewski : Teoria sterowania. WNT, Warszawa, 1980.