PA/C/Cw1

From WikiZMSI

< PA | C

Spis treści

Modelowanie matematyczne układów dynamicznych ciągłych

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z metodami modelowania matematycznego i badania dynamiki nieskomplikowanych obiektów regulacji. Zaprezentowana procedura wyprowadzania dotyczy układów jednowymiarowych,liniowych stacjonarnych. Zakłada się ponadto zerowe warunki brzegowe. Tak postawione założenia prowadzą do modeli dynamiki w postaci równań różniczkowych zwyczajnych. Poszukiwanie rozwiązania zostanie oparte na zastosowaniu rachunku operatorowego Laplace'a, przy czym zadanie zostanie uproszczone poprzez zastosowanie tablic typowych transformat i oryginałów. Transformacja modelu w postaci równania różniczkowego zwyczajnego w równanie algebraiczne (wielomian uzmienniony w dziedzinie zmiennej zespolonej s) w znacznym stopniu ułatwia prowadzenie analizy czasowej i częstotliwościowej modelu.

Wymagana wiedza

Poniższe informacje można odnaleźć w ([]).

Rachunek operatorowy Laplace'a

Pojęcie transmitancji operatorowej w dziedzinie zmiennej zespolonej s, zamiana równań różniczkowych na opis operatorowy przy użyciu transmitancji, podstawowe własności przekształcenia Laplace'a (twierdzenia : o liniowości, o różniczkowaniu, o całkowaniu, o wartości początkowej, o wartości końcowej).

Liczby zespolone

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej - tożsamość Eulera, podstawowe działania na liczbach zespolonych.

Podstawowe człony dynamiczne

Znajomość transmitancji operatorowej (znaczenie parametrów np. zinterpretować wzmocnienie k), r-nia różniczkowego, charakterystyki skokowej,charakterystyk częstotliwościowych (amplitudowo-fazowej, amplitudowej i fazowej), przykładów rzeczywistych obiektów z wyróżnionym wejściem i wyjściem fizycznym następujących członów dynamicznych :

  • element bezinercyjny (proporcjonalny),
  • element inercyjny I-go rzędu,
  • element całkujący idealny,
  • element całkujący rzeczywisty,
  • element różniczkujący idealny
  • element różniczkujący rzeczywisty,
  • element opóźniający,
  • element typu oscylator II-go rzędu,
  • element inercyjny II-go rzędu

Przebieg ćwiczenia

Na podstawie modeli fizycznych, stanowiących uproszczenia obiektów rzeczywistych wyprowadzane będą modele matematyczne w postaci równań lub układu równań różniczkowych zwyczajnych. Uzyskane w ten sposób modele będą transformowane do przestrzeni zmiennej zespolonej s i na tej podstawie będą wyznaczane transformaty odpowiedzi modelowanego układu na założone sygnały pobudzające. Zastosowanie tablic transformat i oryginałów pozwoli na uzyskanie rozwiązania w dziedzinie czasu.

Pytania kontrolne

  1. Omówić procedurę wyprowadzania modelu matematycznego;
  2. Co oznacza spełnienie i niespełnienie warunku liniowości modelu obiektu dynamicznego;
  3. Podać twierdzenie o liniowości i opisać słownie;
  4. Podać twierdzenie o różniczkowaniu dowolnego rzędu;
  5. Podać twierdzenie o całkowaniu;
  6. Podać twierdzenie o wartości końcowej;
  7. Podać twierdzenie o wartości początkowe;
  8. Zinterpretuj pojęcie stacjonarności;
  9. Jaką zasadę powinny spełniać układy liniowe ?
  10. Jak wygląda zapis algebraiczny transmitancji operatorowej;
  11. Podane równanie różniczkowo-całkowe przekształcić do postaci operatorowej;
  12. wymienić cechy systemu statycznego;
  13. Wymienić cechy systemu dynamicznego;
  14. Na czym polega analiza "white box" ?
  15. Na czym polega analiza "black box" ?
  16. Podaj transmitancję operatorową, opis w dziedzinie czasu, charakterystykę skokową, amplitudowo-fazową oraz jeden przykład rzeczywistego obiektu jeden spośród podstawowych członów dynamicznych.
  17. Co to są zera i bieguny transmitancji?
  18. Wymień i omów podstawowe sygnały wykorzystywane do identyfikacji dynamiki - funkcja, przebieg w czasie, praktyczny sposób realizacji.
  19. Dane jest równanie różniczkowe zwyczajne w postaci standardowej. Przekształć w transmitancję operatorową, określ rząd, wyznacz zera i bieguny i nanieś, stosując prawidłowe oznaczenie na odpowiednią płaszczyznę.

Bibliografia

  1. K.Amborski : Teoria sterowania - podręcznik programowany. Wydawnictwo Naukowo techniczne PWN, Warszawa, 1987.
  2. M.Żelazny : Podstawy automatyki. xxx, xxx, 000.
  3. T.Kaczorek : Teoria sterowania. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1976.
  4. F.Leja : Funkcje zespolone. PWN, Warszawa, 1967.
  5. J.Osiowski : Zarys rachunku operatorowego. WNT, Warszawa, 1972.
  6. W.Pełczewski : Teoria sterowania. WNT, Warszawa, 1980.